Twitter proof: the roots go hand in hand

< change language

In this twitter proof we will have a look at a rather curious, yet simple, property of real polynomials.

Claim: if $p(x) = \sum_{i=0}^n a_ix^i$ is a polynomial with real coefficients, then for all complex numbers $z$, $$p(z) = 0 \iff p(\bar{z}) = 0$$ which means that the complex roots of $p(x)$ come in conjugate pairs.

Twitter proof: it suffices to show that $p(z) = 0 \implies p(\bar{z}) = 0$. Assume that $p(z) = 0$ and recall that $a_i = \bar{a_i}$: $$\begin{align} p(\bar{z}) &= \sum_{i=0}^n a_i\bar{z}^i \\ &= \sum_{i=0}^n \overline{a_iz^i} \\ &= \overline{\sum_{i=0}^n a_iz^i} = \overline{p(z)} = 0 \end {align}$$

Neste post vamos dar uma olhadela a uma propriedade curiosa, mas simples, dos polinómios com coeficientes reais.

Proposição: se $p(x) = \sum_{i=0}^n a_ix^i$ é um polinómio com coeficientes reais, então para qualquer número complexo $z$ vem $$p(z) = 0 \iff p(\bar{z}) = 0$$ o que significa que as raízes complexas de $p(x)$ vêm em pares conjugados.

Prova num tweet: basta provar que $p(z) = 0 \implies p(\bar{z}) = 0$. Assumamos que $p(z) = 0$ (e lembremo-nos que $a_i = \bar{a_i}$): $$\begin{align} p(\bar{z}) &= \sum_{i=0}^n a_i\bar{z}^i \\ &= \sum_{i=0}^n \overline{a_iz^i} \\ &= \overline{\sum_{i=0}^n a_iz^i} = \overline{p(z)} = 0 \end {align}$$ provando assim o pretendido.

  - RGS