Twitter proof: interpolating polynomials

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In this post I will show the existence of a family of polynomials that are very useful for interpolation. For that I will use what are known as Lagrange polynomials.

Claim: given $n+1$ pairs $(x_i, y_i)$ with $0\leq i \leq n$ and with $x_i \neq x_j$ whenever $i\neq j$, there exists a polynomial $p(x)$ of degree at most $n$ such that $$p(x_i) = y_i,\ i = 0, \cdots, n$$
Twitter proof: consider the polynomial $$l_i(x) = \prod_{j\neq i} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}$$ with $l_i(x_i) = 1$ and $l_i(x_j) = 0$ whenever $j \neq i$. Define $p(x)$ to be $$p(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i l_i(x)$$ $p(x)$ has degree at most $n$ because so do the $l_i(x)$ and $p(x_k) = \sum_i y_i l_i(x_k) = y_k$.

In a future post I will show the uniqueness of the polynomial satisfying the constraints in the claim.

Neste post vou mostrar a existência de uma família interessante de polinómios, muito útil em interpolação. Para isso vou usar uns polinómios chamados polinómios de Lagrange.

Proposição: dados $n+1$ pares $(x_i, y_i)$ onde $0\leq i \leq n$ e tais que $x_i \neq x_j$ sempre que $i\neq j$, existe um polinómio $p(x)$ de grau menor ou igual a $n$ satisfazendo as igualdades $$p(x_i) = y_i,\ i = 0, \cdots, n$$
Prova num tweet: considere-se o polinómio $$l_i(x) = \prod_{j\neq i} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}$$ que satisfaz $l_i(x_i) = 1$ e $l_i(x_j) = 0$ sempre que $j \neq i$. Definimos $p(x)$ como $$p(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i l_i(x)$$ $p(x)$ tem grau menor ou igual a $n$ porque os $l_i(x)$ o têm e $p(x_k) = \sum_i y_i l_i(x_k) = y_k$.

Num post futuro mostrarei a unicidade do polinómio que satisfaz as restrições da proposição.

  - RGS