Pocket maths: good rational approximations

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An obvious way of creating rational approximations for irrational numbers is by truncating its decimal expansion. For example, $3$, $3.1$ and $3.14$ are all rational approximations of $\pi$; as fractions, those approximations would be written $3$, $\frac{31}{10}$ and $\frac{314}{100}$.

Notice how $\frac{314}{100}$ has $100$ as the denominator and yet only produces an approximation correct up to two decimal places.

Claim: by using continued fractions one can obtain better rational approximations for irrational numbers.

Method: if $x$ is an irrational number, instead of truncating its decimal expansion, we can truncate its continued fraction.
Taking $\pi$ as an example, we have $$\pi = 3 + \frac1{7 + \frac1{15 + \cdots}}$$ and by taking $$\pi \approx 3 + \frac17 = \frac{22}{7}$$ we get the approximation $\pi \approx 3.14285\cdots$: it is correct up to two decimal places just as $\frac{314}{100}$, but $7$ is a much smaller denominator than $100$. (And all in all, $\frac{22}{7}$ is a much more elegant fraction that $\frac{314}{100}$)

This can be done for any irrational number and it can be shown that this method produces the best rational approximations for irrational numbers... maybe a post for another time!

What is your favourite continued fraction?

Truncar a expansão decimal de um número irracional é uma maneira óbvia de criar aproximações racionais para esse número. Por exemplo, $3$, $3.1$ e $3.14$ são aproximações racionais de $\pi$: estas aproximações escrevem-se $3$, $\frac{31}{10}$ e $\frac{314}{100}$ como frações.

Note-se que a fração $\frac{314}{100}$ tem $100$ como denominador e produz uma aproximação que só está certa até duas casas decimais.

Proposição: usando frações contínuas conseguimos obter aproximações racionais muito melhores para os números irracionais.

Método: se $x$ é um número irracional, em vez de truncarmos a sua expansão decimal podemos truncar a sua fração contínua.
Por exemplo, a fração contínua do $\pi$ é $$\pi = 3 + \frac1{7 + \frac1{15 + \cdots}}$$ e se a truncarmos depois do $7$, $$\pi \approx 3 + \frac17 = \frac{22}{7}$$ obtemos a aproximação $\pi \approx 3.14285\cdots$: está correta até à segunda casa decimal, tal como $\frac{314}{100}$, mas $7$ é um denominador muito mais pequeno que $100$. (Para além de que $\frac{22}{7}$ é uma aproximação muito mais elegante que $\frac{314}{100}$...)

Isto pode ser feito com qualquer número irracional e também se pode mostrar que este método produz as melhores aproximações racionais para números irracionais... talvez num post futuro!

Qual é a tua fração contínua preferida?

  - RGS