Pocket maths: the birthday bet

This post has the purpose of presenting a result that may seem counterintuitive and that can provide a really nice excuse for a wager between you and one or more of your friends. For this post, when I talk about a birthdate I am only referring to the day and month of birth, and not the year.

What is the probability that you and your best friend have the same birth day and month? Even without an exact number one knows that you are much more likely to have different birthdates than having equal birthdates. Assuming all $366$ days are equally likely, the probability that two people have the same birthdate is $\frac{1}{366} \approx 0.27\%$ and the probability that the birthdate is different is $\frac{365}{366} \approx 99.73\%$. How many people do you need so that the probability of existing at least two sharing the birthdate is higher than the probability of everyone having different birthdates?

What would your guess be?

It only takes $23$ people. If you have a group of $23$ people, the probability that no one shares the birthdate is approximately $49.37\%$! That is the same as saying that, in a group of $23$ people, there is a $\approx 50.63\%$ chance that two people share a birthdate.
This seems very counterintuitive because $23$ people can only cover $23$ of the $366$ possible days, which represents a ratio of $\frac{23}{366}\approx 6.3\%$, a very low number which wouldn't make us think that $23$ people were enough to make this happen. But why would you care?

Whenever you find yourself in a group of $23$ people or more, you can bet the other people of the group that at least two of you share the same birthdate. If you do this often enough, you will make money! Just like a casino: you will win some and lose some, but in the long run you are expected to profit from this.

• In a group of $23$, your chances of winning are above $50\%$;
• In a group of $27$, your chances of winning are above $60\%$;
• In a group of $30$, your chances of winning are above $70\%$;
• In a group of $35$, your chances of winning are above $80\%$;
• In a group of $41$, your chances of winning are above $90\%$.

How can you compute these probabilities? Take the $n$ people of your group and line them up. We will be comparing the birthdate of a person with the birthdates of everyone to the left. What is the probability that the second person has a birthdate distinct from the first person? It is $\frac{365}{366}$. What is the probability that the third person has a birthdate distinct from the two people to the left, if the two to the left have distinct birthdates? It is $\frac{364}{366}$, so what is the probability that the first three people have distinct birthdates? It is $\frac{365}{366}\times\frac{364}{366}$, the probability that the second person doesn't share its birthdate with the first person times the probability that the third person doesn't share its birthdate with the first or second people.
We can keep this train of thought going: if the first three people have different birthdates, what is the probability that the fourth person has a distinct birthdate? It is $\frac{363}{366}$, so the probability that the first four people have different birthdates is $\frac{365}{366}\times\frac{364}{366}\times\frac{363}{366}$.

In a general setting, the probability that $n < 366$ people have distinct birthdates is $$\prod_{i=1}^{n-1} \frac{366-i}{366}$$ Recall that we have assumed that a person is equally likely to be born in any of the $366$ existing days, which isn't exactly right (if I had to guess, the $29$th of February would be one of the less likely days for example). However, assuming equally likely birthdates gives the worst case scenario for you, the one betting that there are people sharing a birthdate.

For your convenience, I included a window with that formula implemented, you just have to write the number $n$ where the $23$ is and then a number will be printed to the console: the probability that, in a group of $n$ people, all of them have distinct birthdates.
Leave your feedback in the comments section. Did you know this already?

O propósito deste post é o de apresentar um resultado que é bastante contra-intuitivo e que pode dar uma excelente desculpa para uma aposta entre amigos. Para este post, sempre que eu falar de uma data de aniversário, ou aniversário, vou estar a referir-me apenas ao dia e ao mês, ignorando o ano.

Qual é que é a probabilidade de dois melhores amigos terem o mesmo aniversário? Mesmo sem sabermos os números exatos sabemos que é muito mais provável que os dois amigos tenham aniversários diferentes do que tenham o mesmo aniversário. Assumindo que todos os $366$ dias são igualmente prováveis, a probabilidade de duas pessoas terem o mesmo aniversário é $\frac{1}{366} \approx 0.27\%$ e a probabilidade dos aniversários serem diferentes é $\frac{365}{366} \approx 99.73\%$. Quantas pessoas são precisas para que a probabilidade de haver pelo menos duas pessoas com o mesmo aniversário seja superior à probabilidade de todas as pessoas terem aniversários diferentes?

Que número seria um bom palpite?

Só são precisas $23$ pessoas. Dentro de um grupo de $23$ pessoas, a probabilidade de toda a gente ter aniversários diferentes é aproximadamente $49.37\%$! Isso quer dizer que, num grupo de $23$ pessoas, pelo menos duas pessoas partilham o aniversário com uma probabilidade de $\approx 50.63\%$.
Isto parece-me contra-intuitivo porque $23$ pessoas só conseguem cobrir $23$ dos $366$ dias existentes, um rácio de $\frac{23}{366} \approx 6.3\%$, um número bastante baixo que me fazia achar que $23$ pessoas não seriam necessárias para fazer com que isto acontecesse. Porque é que isto interessa?

Sempre que temos um grupo de $23$ pessoas ou mais, podemos apostar com os outros que, dentro desse grupo, pelo menos duas pessoas partilham o mesmo aniversário. Se fizermos isto vezes suficientes, podemos ganhar dinheiro! Tal como um casino: vamos perder algumas apostas e ganhar outras, mas a longo prazo é esperado que tenhamos lucro.

• Num grupo de $23$, a probabilidade de ganharmos é superior a $50\%$;
• Num grupo de $27$, a probabilidade de ganharmos é superior a $60\%$;
• Num grupo de $30$, a probabilidade de ganharmos é superior a $70\%$;
• Num grupo de $35$, a probabilidade de ganharmos é superior a $80\%$;
• Num grupo de $41$, a probabilidade de ganharmos é superior a $90\%$.

Como é que podemos calcular estas probabilidades? Vamos pegar nas $n$ pessoas do nosso grupo e alinhá-las contra uma parede. Vamos comparar o aniversário de uma pessoa com os aniversários das pessoas à esquerda. Qual é a probabilidade da segunda pessoa ter um aniversário diferente do da primeira pessoa? É $\frac{365}{366}$. Qual é a probabilidade da terceira pessoa ter um aniversário diferente do das duas pessoas à sua esquerda, se as duas pessoas à esquerda tiverem aniversários diferentes? É $\frac{364}{366}$, portanto qual é a probabilidade das três primeiras pessoas terem três aniversários distintos? É $\frac{365}{366}\times\frac{364}{366}$: a probabilidade da segunda pessoa não partilhar o aniversário com a primeira pessoa vezes a probabilidade da terceira pessoa não partilhar o aniversário com as outras duas pessoas.
Podemos continuar este raciocínio: se as três primeiras pessoas têm aniversários diferentes, a probabilidade da quarta pessoa ter um aniversário diferente de qualquer um dos outros três é $\frac{363}{366}$, o que implica que a probabilidade de quatro pessoas terem todas aniversários distintos é $\frac{365}{366}\times\frac{364}{366}\times\frac{363}{366}$.

Num contexto mais geral, a probabilidade de $n < 366$ pessoas terem todas aniversários distintos é $$\prod_{i=1}^{n-1} \frac{366-i}{366}$$ Note-se que assumimos que qualquer data de aniversário das $366$ existintes é igualmente provável, o que provavelmente está incorreto (o dia $29$ de Fevereiro há de ser menos provável que outros dias, por exemplo). No entanto, assumir que todos os dias são igualmente prováveis representa o pior caso para nós, que estaremos a apostar que há pessoas que partilham o aniversário.

Para comodidade do leitor, incluí uma janela com a fórmula implementada, basta escrever o nosso número $n$ onde está o $23$ e o script imprime um número para a consola: a probabilidade de que, num grupo de $n$ pessoas, todas tenham aniversários distintos.

Deixem algum feedback na zona dos comentários! Já conheciam este facto?

  - RGS